时间序列的平稳性

平稳性是时间序列分析的基础。如果对所有的 t,任意正整数 k 和任意 k 个正整数 (t1, ..., tk),(rt1, ..., rtk) 的联合分布与 (rt1+t, ..., rt2+t) 的联合分布是相同的,则称时间序列 {rt} 为严平稳的(strictly stationary)。换句话说,严平稳性要求 (rt1, ..., rtk) 的联合分布在时间的平移变换下不变。这是一个很强的条件,难以用经验方法验证。经常假定的是平稳性的一个较弱的形式:如果 rt 的均值和 rtrt-l 的协方差是不随时间变化的,其中 l 是一个任意整数,则时间序列 {rt} 是弱平稳的(weakly stationary)。更具体的说,若 (a) E(rt) = µµ 是一个常数;(b) Cov(rt, rt-1) = γlγl 只依赖于 l,则 {rt} 是弱平稳的。实际上,假定我们有 T 个观察数据点 {rt|t = 1, ..., T},弱平稳性意味着数据的时间图显示出 T 个值在一个常数水平上下以相同幅度波动。

在弱平稳性的条件中,隐含地假定了 rt 的头两阶矩是有限的。由定义可见,若 rt 是严平稳的,且它的头两阶矩是有限的,则 rt 也是弱平稳的。反之一般是不成立的,但如果时间序列 rt 是正态分布的,则弱平稳性与严平稳性是等价的。

协方差 γl = Cov (rt, rt-l) 称为 rt 的间隔为 l 的自协方差,它具有两个重要性质: (a) γ0 = Var (rt) 和 (b) γ-l = γl,第二个性质成立是因为 Cov(rt, rt-(-l)) = Cov(rt-(-l), rt) = Cov(rt+l, rt) = Cov(rt1, rt1-l),其中 t1 = t + l

 

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