一、问题：

给定一个数据点的集合：

{ (x_i, y_i) | i = 1, 2, …, n}

现在使用m次多项式函数 y = a_mx^m + a_m-1x^m-1 + … + a₂x² + a₁x + a₀ 对其进行拟合，使得拟合的误差平方和最小。

求能达到此目标的参数 [a_m , a_m-1 , …, a₂ , a₁ , a₀]^T 的值。

二、解：

特别地，当 m=3 时，y = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ 的拟合参数

当 m=2 时，y =  a₂x² + a₁x + a₀ 的拟合参数

当 m=1 时，y =  a₁x + a₀ 的拟合参数

这时其实是一种线性拟合。将以上矩阵求逆，相乘，计算出来后为：

其中，

参见：数据点的最小二乘线性拟合

三、证明：

当 m=1 时的证明，见 数据点的最小二乘线性拟合。

这里给出 m=3 时的推导过程。

每个原始数据点为(x_i,y_i)，其拟合的点为，对每个x_i，其拟合值与原始值y_i的误差计为：

其中，作为yi的拟合值。所以

于是

令

则有

为了简便起见，令

则

现在来求能够使上式达到最小值的参数a₃ , a₂ , a₁ , a₀ 。

分别对 a₃ , a₂ , a₁ , a₀ 求偏微分，得：

令

， 即

上式即为如下线性方程组：

由之前的记号，上式就是：

解此线性方程组，得：

证毕。